高等数学（上册）
内容提要
- 主要内容包括函数极限与连续，一元函数微分学及其应用，一元函数积分学及其应用，微分方程。
前言
- 极限是微积分的“灵魂”，只有理解这一概念，才能领会微积分的实质。
第一章 函数、极限与连续
- 函数的定义域、表达式、分类及其性质，同时给出初等函数的概念．
- 函数：设x和y是两个变量，D是一个非空数集．如果按照某个法则f，对每个数x∈D，变量y总有唯一确定的值与之对应，则称此对应法则f为定义在D上的函数，与x对应的值y称为f在x处的函数值，记作f（x），即y=f（x）．变量x称为自变量，y称为因变量．数集D称为定义域，W={y|y=f（x），x∈D}称为函数的值域．
- A是B的子集，记作A⊂B（或B⊂A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）
- 在本书中，我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作N．由整数的全体构成的集合称为整数集，记为Z．用Q表示全体有理数构成的有理数集，R表示全体实数构成的实数集．显然有N⊂Z⊂Q⊂R．
- 由包含于A但不包含于B的元素构成的集合（见图1-4），称为A与B的差集（简称差），记作A＼B，即A＼B={x|x∈A且x∉B}；
- 设a和b都是实数，且a
- 数b-a称为这些区间的长度
- 设a与δ为两个实数，且δ>0，数集{x｜|x-a|<δ}称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），即U（a，δ）={x｜|x-a|<δ}，其中a称作U（a，δ）的中心，δ称作U（a，δ）的半径．
- 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数等，统称为基本初等函数
- 幂函数：y=xα（α是常数）
- 当[插图]的定义域是［0，+∞）；当[插图]的定义域是（0，+∞）．幂函数的最小定义域是（0，+∞）．
- 当a=e时的对数函数记为y=lnx，称为自然对数函数．
- y=logax和y=ax互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称，且有[插图]．进一步，我们在以后的计算中经常会用到[插图]
- 在区间[插图]上的正弦函数y=sinx的反函数记作y=arcsinx，定义域为［-1，1］，值域为[插图]，称为反正弦函数
- 常数函数
- 绝对值函数．
- 函数[插图]的定义域为D=（-∞，+∞），值域W={-1，0，1}，它的图形如图1-32所示，这个函数称为符号函数．
- 这种自变量在不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数
- 我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的，并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数．
第二节 数列极限的定义与计算
- 等比数列{xn}：公比[插图]，通项公式为xn=x1·qn-1，前n项求和公式为[插图]．
- 无限接近于某个确定的常数和不接近于任何确定的常数．
- 如果当数列{xn}的项数n无限增大时，它的一般项xn无限接近于一个确定的常数a，则称a为数列{xn}的极限．此时也称数列{xn}收敛于a，记作，或xn→a（n→∞）．例如，.
- 定义 设{xn}为一数列，如果存在一个常数a∈R，对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，使得对于n>N时的一切n，不等式|xn-a|<ε均成立，则称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记作 ，或xn→a（n→∞）． 如果这样的常数a不存在，就称数列没有极限，或称数列发散．
- 数列的定义可用于验证a是数列{xn}的极限，但却无法用于求极限．
- 对于任意的0<|q|<1，都有[插图].
- （1）[插图]；（加减法则）（2）[插图]；（乘法法则）（3）[插图]；（交换法则）（4）[插图]．（除法法则）
第三节 函数极限的定义与计算
- 若∀ε>0，∃X>0，当x>X时，恒有|f（x）-A|<ε，则[插图]．
- 直线y=0称为函数[插图]图形的水平渐近线．
- 一般地，如果[插图]，那么称直线y=A为函数y=f（x）图形的水平渐近线．
- 一般地，当x→x0时，f（x）无限接近于确定的数值A，则称A为f（x）在x→x0时的极限
- ∀ε>0，∃δ>0，当0<|x-x0|<δ时，恒有|f（x）-A|<ε，那么[插图]．
- 因此如果[插图]中有一个不存在，或两个虽存在但不相等，则[插图]不存在．
- 定理2（函数极限的四则运算法则）
第四节 极限性质
- 定理1（极限的唯一性） 数列{xn}不能收敛于两个不同的极限．
- 如果数列无界，则其一定发散；如果数列有界，则其未必收敛
- 如果数列{xn}收敛于a，则它的子数列[插图]也收敛于a．
- *定理8（函数极限与数列极限的关系） 若[插图]存在，{xn}为f（x）的定义域内的任一收敛于x0的数列，且xn≠x0（n∈N），则{f（xn）}收敛，且[插图]．
第五节 两个重要极限
- 准则1 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足（1）∃N0∈N，当n>N0时，yn≤xn≤zn；（2）[插图]，那么数列{xn}的极限存在，且[插图]．
- 单调有界数列必有极限．
- 如果limf（x）=A>0，limg（x）=B，那么[插图]
第六节 无穷小与无穷大
- 定义1 设f（x）在[插图]内有定义，若[插图]，则称函数f（x）为x→x0时的无穷小．
- 零是无穷小中唯一的常数．
- 若，则直线y=ax+b是函数y=f（x）图形的斜渐近线．
- 两个无穷小的商的极限可能为零，可能是非零常数，也可能不存在．
- 若[插图]，则称β是比α高阶的无穷小，记作β=o（α）；
- x→0时，（1+x）α-1～αx（α∈R，α≠0）
- β与α是等价无穷小的充分必要条件为β=α+o（α）．
- 定理4 设α，β，α′，β′为自变量的同一变化过程中的无穷小，又α～α′，β～β′，且[插图]存在，则[插图]．
- x～ln（1+x）～ex-1，ax-1～xlna（a>0，a≠1）．
第七节 函数的连续性及其性质
- 设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果[插图]，则称y=f（x）在点x0处连续．
- 定义2 设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果[插图]则称y=f（x）在点x0处连续．
- 函数f（x）在x0处连续，等价于其在x0处的左极限、右极限存在且相等并等于该点的函数值．
- 若函数f（x）在开区间（a，b）内连续，且在x=a处右连续，在x=b处左连续，则称函数f（x）在闭区间［a，b］上连续．
- （1）若[插图]存在，则称x=x0为函数f（x）的第一类间断点．
- 如果[插图]，则称x=x0为函数f（x）的跳跃间断点．
- 若[插图]中至少有一个不存在，则称x=x0为函数f（x）的第二类间断点．
- 定理2（反函数的连续性） 如果函数y=f（x）在区间Ix上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x=f-1（y）也在对应的区间Iy={y|y=f（x），x∈Ix}上单调增加（或单调减少）且连续．
- 若函数f（x）在闭区间上连续，则该函数在该闭区间上必有界，且有最大值和最小值．
- 定理6（零点定理）若函数f（x）在［a，b］上连续，且f（a）·f（b）<0，则至少存在一点ξ∈（a，b），使f（ξ）=0.
- 若函数f（x）在［a，b］上连续，且f（a）=A，f（b）=B（A≠B），则对于A、B之间的任意一个数C，在（a，b）内至少存在一点ξ，使f（ξ）=C．进一步，函数必取得介于最小值m和最大值M之间的任何值（见图1-67）．
第二章 一元函数微分学及其应用
- [插图]是函数y=f（x）在［x0，x0+Δx］上的平均变化率，而导数[插图]则反映函数y=f（x）在点x0处的瞬时变化率，它实际反映函数随自变量变化而变化的“快慢程度”．
- 显然，函数y=f（x）在x0处的导数，就是导函数f′（x）在x0处的函数值
- 函数f（x）在x=x0处可导的充要条件是f（x）在x=x0处左、右导数存在且相等．
- 法线即为过切点M（x0，f（x0））且与切线垂直的直线．
- 定理1 若函数f（x）在x0处可导，则函数f（x）在x0处必连续．
- 函数连续未必可导，这说明连续是可导的必要条件．
- （1）［u（x）±v（x）］′=u′（x）±v′（x）；（2）［u（x）·v（x）］′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）；（3）[插图]．
- 定理3 如果单调函数x=φ（y）在某一区间Iy内可导，且φ′（y）≠0，则它的反函数y=f（x）在对应的区间Ix={x|x=φ（y），y∈Iy}内也可导，且[插图]
- 反函数的导数等于直接函数导数的倒数．
- 1. 基本求导公式：（1）（C）′=0；（2）（xμ）′=μxμ-1；（3）（sinx）′=cosx；（4）（cosx）′=-sinx；（5）（tanx）′=sec2x；（6）（cotx）′=-csc2x；（7）（secx）′=secxtanx；（8）（cscx）′=-cscxcotx；（9）（ax）′=axlna（a>0，a≠1）；（10）（ex）′=ex；[插图]
第二节 导数的计算法则
- 此例中，f′（tanx）表示对tanx求导，而［f（tanx）］′表示对x求导．
- 加速度a（t）是速度函数v（t）对时间t的变化率，即速度函数v（t）对时间t的导数
第三节 微分的概念与应用
- 我们设法将Δy表示成Δx的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题．微分就是实现这种线性化的一种数学模型．
- 定理 函数f（x）在x=x0处可微的充分必要条件是f（x）在x=x0处可导．
- 若函数f（x）在x=x0处可微，其微分[插图]
- 如果函数y=f（x）在区间（a，b）内每一点处都可微，则称f（x）是（a，b）内的可微函数．函数f（x）在任意一点x处的微分就称为函数的微分，记为dy，
- 由此可见，对于可微函数y=f（x）而言，当Δy是曲线y=f（x）上的点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量．
- 即在x0附近可用x的线性代数f（x0）+f′（x0）（x-x0）来近似表达函数f（x）．
第四节 微分中值定理及其应用
- 引理（费马定理） 设函数f（x）在点x0的某个邻域U（x0）内有定义并且在x0处可导，对任意的x∈U（x0），恒有f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0）），
- 通常称导数等于零的点为函数的驻点
- （1）在闭区间［a，b］上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）内至少有一点ξ（a<ξ
- 罗尔定理的几何意义 如果曲线段y=f（x）（x∈［a，b］）是连续不断的、光滑的，且两端纵坐标相等，则该曲线段在［a，b］上至少有一条水平切线．
- 定理2（拉格朗日中值定理） 如果函数y=f（x）满足（1）在闭区间［a，b］上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；则至少存在一点ξ∈（a，b），使[插图]，即f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）．
- 拉格朗日中值定理的几何意义 如果曲线段y=f（x）（x∈［a，b］）是连续不断的、光滑的，且除端点外处处具有不垂直于横坐标轴的切线，则该曲线段在［a，b］上至少有一点，使曲线在该点处的切线与两端点的连线（弦）平行（见图2-22）．
- 推论1 若函数f（x）在区间I内满足f′（x）恒为零，则在区间I内恒有f（x）=C（常数）．
- 若函数f（x），g（x）在区间I内满足f′（x）=g′（x），则在区间I内恒有f（x）=g（x）+C，其中C为任意常数．
- 定理3（柯西中值定理） 设函数f（x）、F（x）满足（1）在［a，b］上连续；（2）在（a，b）内可导；（3）当x∈（a，b）时，F′（x）≠0（见图2-23），则至少存在一点ξ∈（a，b），使[插图]
- 定理4（洛必达法则） 设（1）当x→x0时，函数f（x），F（x）都趋于零；（2）在点x0的某邻域内（点x0本身可以除外），f′（x），F′（x）都存在，且F′（x）≠0；（3）[插图]存在（或为无穷大），则[插图]
- 在求极限时，我们还会遇到∞-∞，0·∞，00，1∞，∞0等形式的未定型，一般是先通过恒等变换等措施，将其变换为[插图]型，再使用洛必达法则求出极限．
第六节 函数的性态与图形
- 定理2（极值的必要条件） 设函数f（x）在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f′（x0）=0.
- 定理4（极值第二充分条件） 设函数f（x）在点x0处具有二阶导数，且f′（x0）=0，f″（x0）≠0，则当f″（x0）<0时，函数f（x）在点x0处取得极大值；当f″（x0）>0时，函数f（x）在点x0处取得极小值．
- （1）若在I内f″（x）>0，则f（x）在I上的图形是凹的； （2）若在I内f″（x）<0，则f（x）在I上的图形是凸的．
第三章 一元函数积分学及其应用
- 这种已知函数的导数或微分，求该函数的运算称为“积分”运算
- 连续函数一定有原函数．
- 定义2 在区间I上，函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f（x）在区间I上的不定积分，记作∫f（x）dx，即 ∫ f（x）dx=F（x）+C．
- 其中，符号∫称为积分号，称f（x）为被积函数，f（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量，F（x）是f（x）的一个原函数．
- 性质2 设函数f（x）及g（x）的原函数存在，则 ∫ ［αf（x）+βg（x）］dx=α∫f（x）dx+β∫g（x）dx， 其中α，β为不全为零常数．
第二节 不定积分的换元法与分部法
- 定理1 设f（u）具有原函数F（u），u=φ（x）可导，则F［φ（x）］是f［φ（x）］φ′（x）的原函数，即有换元公式 ∫ f［φ（x）］φ′（x）dx=［∫f（u）du］u=φ（x）．
- 注 当被积函数中含有时，可令．
- （1）∫ tanxdx=-ln|cosx|+C；（2）∫ cotxdx=ln|sinx|+C；（3）∫ secxdx=ln|secx+tanx|+C；（4）∫ cscxdx=ln|cscx-cotx|+C；[插图]
第四节 定积分的概念与性质
- 定理1 若函数f（x）在［a，b］上连续，则f（x）在［a，b］上可积．（连续⇒可积）
- 设函数f（x）在［a，b］上连续，则至少存在一点ξ∈［a，b］，使[插图]
第五节 微积分基本定理
- 定理2 若函数f（x）在［a，b］上连续，则是f（x）在［a，b］上的一个原函数，即 Φ′（x）=f（x），x∈［a，b］． 定理2的意义在于： （1）连续函数的原函数是存在的，这样就解决了不定积分中连续函数的原函数的存在的证明； （2）指出了获得连续函数的原函数的具体方法．
- 定理3（牛顿-莱布尼茨公式） 若函数F（x）是连续函数f（x）在［a，b］上的一个原函数，则[插图]
第三节 二阶微分方程
- 定理2 如果y1（x）与y2（x）是方程（4）的两个线性无关的特解，则y=C1y1（x）+C2y2（x）就是方程（4）的通解，其中C1，C2是任意常数．