学好数学并不难：代数+几何（套装共2册）

孙亮朝

自序

• 在我看来，这个世界上应该只有两种人：一种是喜欢数学的，另一种是不知道自己喜欢数学的．
• 人类天生就有极大的好奇心和求知欲，这驱使我们仰望星空，从日月星辰的运转中捕捉数学的韵律；让我们亲近自然，从四季变换中寻找生命的价值．
• 数学是美的，这是一种超凡脱俗的美，是高冷到不食人间烟火的美，任何一个热爱数学的人都能感受到它．
• 荷花上的数学和淤泥中的数学没有不同，宫殿里的数学和沟渠里的数学也无区别
• 我常把数学比作钻石，钻石本身不会发光，它折射出的是太阳的光彩；数学本身也并不完美，它呈现出的是人类的智慧．

一 一旦你了解数学，你一定会爱上它

• 只有不松不紧的时候，才刚好合适．但不松不紧的感觉我却无法通过语言描述，只能在反复练习中去领悟．照此看来，您所读的书，不也就是圣人的糟粕吗
• 那些写在数学书上的定义、定理、公式，是不是僵化的数学呢？
• 既然人活着就只能承受这样的苦难，就让我用数学的快乐，在人生的苦酒里加一点糖吧．
• 很简单，因为人类是有智慧的生命，基因注定了每个人都具有非常强大的好奇心，好奇心也是人类和动物的本质区别之一．
• 我们的好奇心是由求知欲推动的，所谓求知就是不断找出一个个事件背后的原因，找出一个个奇怪现象的合理解释．我们把所有这些解释归集到一起，变成了世界上所有事件背后的根本原因，所有现象背后的总规律
• 请问，你怎么知道现在的自己是正在做梦呢，还是醒着呢？

除了数学，没有任何一件事能够百分百确定

• 除了数学，没有任何一件事能够百分百确定
• 我们有可能是个被连接了很多电线的植物人，有可能是一个全自动的机器人，还有可能是一个计算机游戏里的虚拟人物，当然，我们也有可能是个活生生的人．这一切都是有可能的，但又都不能百分之百确定．
• 我们几乎天天和父母在一起，但是却没有任何办法证明他们就是自己的父母
• 因为数学是从我们已知的万事万物中抽象总结出来的最基本、最稳定、最精确、最具有普遍意义的知识．
• 鲁道夫的墓碑上记载的是圆周率，阿基米德的墓碑上记载的是与球外切的圆柱，高斯的墓碑上记载的是正十七边形，而丢番图则在墓碑上用代数题描述了自己的年龄
• 是一个数学公式在维护着经济的稳定，它就是货币公式MV＝PT．
• 你认为数学考100分的人，比考50分的人聪明多少倍呢？

数学考100分的同学比考50分的同学聪明多少倍

• 考100分的同学比考50分的同学只是聪明了一点点．
• 而在这些方面，人和人之间基本没有差别，所以从这个角度来看，在数学方面考100分的同学比考50分的同学也就只是聪明了一点点而已．
• 通过这个故事我们不难发现：那些我们眼中的所谓的数学天才，所谓的神童，其实只不过是比我们先学了一天，比我们提前几分钟找到了答案而已．
• 当谈到学习数学的难度时，我常常把它比作骑自行车．当你还不会骑车的时候，骑自行车这件事情就像特技表演一样，只有两个轮子的家伙，怎么可能不倒呢？但是，只要你经过反复的练习，一旦找到感觉，瞬间就会骑了；而且那种感觉一旦找到了，骑车一点都不难了；一旦学会了，那就是一辈子忘不了的．

从一个最简单的问题开始：人为什么要数数

• 有个地主给自己的孩子请了一位老师，这位老师要教孩子学写字，一就是一横，二就是两横，三就是三横．这孩子一看，行了，写字不就这么简单吗？我都学会了．这地主听了当然很高兴，于是就把这位老师给辞退了．有一天他要下个请帖请人吃饭，就让自己的孩子写请帖，可是孩子从早晨写到中午，写了半天还没写完．地主就着急了：“你这孩子到底会不会写？”这个孩子说：“你请什么人吃饭不好，偏偏请个姓万的人，我从早晨到中午，刚写了五百画．”
• 无论是什么事情，要想作为一种文化长久传承下去，它就不仅要好玩，还要有实用价值
• 共同劳动、共同分配是需要数学的
• 最简单的数学知识就是数数
• 时间！日出日落，月圆月亏；暑去寒来，季节变换；花开花落，草木枯荣．
• 数学家罗素说：“当人类发现两天和两只小鸡之间存在某种共同点的时候，人类文明就开启了．”

人类的抽象能力：1＋1到底等于几

• 任何一个真正理解什么叫1＋1＝2的人，不可能不深爱着数学．
• 数学家罗素曾经讲过：“人类的一切错误都可以从最简单的数学错误中推导出来．”
• 在1＋1＝2当中，同时存在着1、2、＋、＝四个完全不相同的概念．要知道我们必须独立地分析1＋1＝2中的每个概念，才能明白整个算式的含义．
• 如果世界上的东西必须完全相同才能实现加法，那么就意味着加法没有任何实际用途．
• 也正是因为找不到完全一样的东西，所以古代人类才在几十万年的时间内迟迟不能发现加法的秘密．
• 人类从不相同的事物发现共同点的这种能力叫作抽象能力．抽象能力是我们认知世界的基础，如果没有这种抽象能力，人类不但不会发现数学，也不会发展出语言、音乐、文字、绘画等一切人类文明．

世间万物都是可以计算的

• 正如相同和不同的矛盾一样，变化和不变也并非绝对的，在运动之中，总有相对静止的物体；在变化之中，总有相对不变的规律．变化中蕴含着不变，这就是数学带给我们的认识世界的第二把利器．
• 在一定条件下，数量保持相对的不变，这是加法中隐藏的第一个规律．
• 因此，1＋1＝2这个规律一旦被发现，就和具体的问题脱离开来了，数学也因此成为一门独立的学科．独立于物的计算，独立于人的计算，独立于时间和空间的计算．也正因为如此，数学才能构成一切知识的基础．
• 整个算式说明，如果我们知道了所有事件发生的过程，知道了过程中的规律，就可以准确无误地得到结果．知道过程就可以知道结果，这说明了这个世界是可知的．
• 如果说加法让人类能够通过过程预知结果，那么减法的意义就在于让我们通过结果来分析过程．

二 初中数学学什么

• 小学学习了整数、小数、分数，加减乘除四则运算，计算图形的周长和面积．这些内容用一句话总结，就是运用一些确定的数字，经过确定的计算方法，找到确定的答案．
• 如果我们把确定性的数字叫作常量，那些暂时不确定，但是可以通过计算得出的数量，就叫作变量
• 代数会带给我们一种全新的思维方式，它让我们拥有了改变世界的能力．我们通过代数学掌握了变化的数量的规律，就可以通过改变那些我们能控制的变量，对其他的变量施加影响，这样就能轻松地驾驭那些每时每刻都在变化的数量，达到改变世界的目的．
• 柏拉图说：“我们在大自然的真理面前，不过是井底之蛙，我们通过自己的眼睛看到的大千世界，都只不过是真理通过井口投在井底的影子而已．”
• 对人类而言，最宝贵的是生命，最宝贵的是时间．

世界上第二宝贵的东西：空间

• 世界上第二宝贵的东西：空间
• 数学最重要的最基本的能力是什么呢？抽象！抽象可以让我们把看起来不一样的东西，抽象出共同的特点，抽象出一样的概念
• 空间是和时间相对的一个非常重要的基本概念，对于人类而言最重要的是时间和生命．生命的价值在于运动，而运动就既需要时间，又需要空间
• 时间有长短，空间有远近，时间有过去未来，空间有上下四方；描述时间可以用数字，描述空间就需要用点、线、面、体；计算时间可以通过加减乘除，计算空间就需要旋转、翻转、平移．

想要打仗，需要你懂几何、代数和解析几何

• 通过几组数据来求得轨道方程的方法就叫作解析几何．
• 希望你一定从抗日“神剧”的梦幻中醒过来，扎扎实实地学一些真正的本领，只有这样才是真正的爱国．

三 数系的扩充

• 所谓阿拉伯数字，也不是阿拉伯人发明的，而是印度人发明的
• 反过来说，如果任何一个有点用的东西都要保留的话，这个世界上早就被垃圾填满了，一个东西要想被人接受，不仅仅要有用，而且用处要大于它带来的麻烦才可以．
• 评价知识有没有意义，至少要考虑三到五个方面的问题：第一，这个知识点在理论上存在的意义是什么？就是说这个知识点是怎么推导计算出来的，或者它是如何归纳总结出来的；第二，这个知识点在实际生活中有没有具体的用途；第三，这个知识点和现有知识是不是相容的？也就是新知识和所有旧知识之间有没有相互的矛盾冲突，是否能够解释和包容旧的知识；第四，这个知识点是否能够解释某些历史的遗留问题；第五，这个知识点能够对人类的未来产生哪些帮助．

赚钱的数字：负数的存在

• 在一个稳定成熟的市场上，商人之间比拼的不仅是谁手中的现金多，更是谁的信用更好，信用多的人就能够赊欠更多的货款，生意就能做得更大．
• 债务是一个商人信用的表现，依靠债务，商人可以扩大自己的生意规模，让自己多赚10倍的利润，欠债在商业活动中是一种常见的现象．
• 是什么原因让大家普遍接受了负数呢？其实，是一种全新的世界观．
• 像时间和空间这样没有起点的量，我们就没有办法用0表示它诞生的时刻，或者它开始的地方
• 对负数的接受也使得世人被迫承认了0的存在是有意义的，正数、负数和0统称有理数

为什么负负得正：负数的加减法

• 遇到小数减大数的问题时，就计算出大数减去小数的差，最后在这个差的前面填写一个负号．
• 加上一个负数等于减去一个正数
• ．据说，法国昆虫学家法布尔就是因为搞不懂负负得正，所以才讨厌数学的．
• 加减是一个动作，表示的是一个运动的过程；而正负是一个方向，表示的是一个静止的状态．

负数乘除法的变化：除法是乘法的逆运算

• 乘法就是多次重复的加法
• 两个有理数相乘的时候，同号相乘得到的是正数，异号相乘得到的是负数．
• 乘法的本质是连续的计算，至于是连续地加还是连续地减，要根据乘法后面的乘数来决定
• 中学阶段关注的是变化的数量，很多题目就会变得非常复杂，靠直觉就不能一眼判断出结果的多少来了．在这种情况下，题目的结果就变得不是很重要，而过程的分析就变得重要起来了，只能根据题目中给出的文字描述或者图形来判断分析结果．
• 学习初中数学，就不能靠直觉了，必须依靠自己的理性，依靠扎实的推理能力，一步一步地细致分析，才能得到正确结果．
• 除了0和1之外，其他数字都不是数字

数字都是没有算完的算式：一切都在运动变化之中

• 从0到1，是从无到有的过程，这个过程是不能忽略的．正是由于数字的本质都是0和1的组合，所以我们才能够在计算机和手机的屏幕上看到一个精彩纷呈的世界．
• 要表达无法被整除的数字，就需要用到一种新的数字类型：分数．
• 分数并非是一种数字，它只不过是一个简化了的除式而已．
• 并不是所有的整数和分数都可以顺利地开方，那些通过开方无法顺利得到的数字，叫作无理数．
• 除法除不尽的时候，我们发明了一种数字叫作分数；当小数减大数不够减的时候，我们得到了负数；当开方开不出的时候，我们又发现了一种数字叫作无理数．分数、无理数、负数，这三类数字都是从自然数演化而来的，统称为实数，实数就是初中数学涉及的所有数字．

四 代数架构和代数思维

• 我们在日常生活中接触的一切，都是代数．
• 只不过因为汉字、图形写起来比较麻烦，所以，我们就常用英文字母来表示数字．
• 我们经常用前几个字母a、b、c表示已经知道的数字，又叫常数或者常量；而用后面的x、y、z表示暂时还不知道的数字，又叫未知数或者变量
• 所有这些字母代表的都是日常工作或者生活中的某个数量，只不过在一般情况下，这些数量之间的关系比较复杂，我们就是要通过计算，把它们之间的相互关系理清楚，只有弄清楚了它们之间的相互关系，才可能通过控制一个数量来控制其他的数量．
• 涉及生活和工作的方方面面，都是无数个变量相互作用的结果，我们只有认识了它们之间的相互关系，才能更好地工作、更好地生活．
• 小学数学是算数字的话，那么初中的代数就是算式子

代数的知识架构：从宏观角度认识代数

• 代数的知识架构可以通过三种方法分类：第一，按等号和不等号分类；第二，按字母的个数和次数分类；第三，按照加减乘除的计算方法分类．
• 为什么叫方程呢？这个方程的方，代表的就是几行几列的一个方阵，而程就是天平的意思，把一个方阵摆放到天平上就是处理含有乘法的等式．
• 在代数里面，变量又被简称为“元”．因此如果一个题目中只有一个变量，而且只出现了一次，我们就管它叫一元一次．如果处理的是等式，就叫一元一次方程；如果是不等式，就叫一元一次不等式．如果是两个变量，并且两个变量之间只是加减关系，没有乘除关系，那就叫二元一次．
• 三次、四次方程还是能够勉强求出得数的，超过四次以上的方程就很难求解了．这类问题大多数情况下只能通过解析几何、微积分、混沌系统进行大致的分析和描述
• 如果一个算式最后是由加减号连接起来的，这个式子就叫多项式；如果一个式子是由乘法连接起来的，这个式子就叫因式；如果一个式子是由除法连接起来的，这个式子就叫分式．
• 整个代数知识的大厦就是从字母、加减乘除这些最基本的东西展开的，它只不过是小学算术的一个升级版本而已．

代数和算术的差别：代数思维是难题化简、分工协作

• 代数思维是难题化简、分工协作
• 因为代数思维可以把一个复杂的问题，拆分成三个互不相关的简单问题，或者说，可以把解题的过程分成三个独立的步骤：发现问题、分析问题、解决问题
• 其实列式子不是在做题，而是通过数学符号，把题目中的意思重复地表达出来而已，这个过程就像我们把中文翻译成英文一样，只不过是把用自然语言描述的内容，直接转换成用字母数字和加减乘除描述而已
• 第二步，分析问题．什么叫分析问题呢？就是把算式化简．
• 第三步，即最后一步，解决问题．就是把数字代入最简的算式中，通过计算把最终得数求出来．
• 代数思维不但使难题化简，而且使分工协作成为可能．

五 用数学语言描述世界

• 代数的目的：用纯数学的语言描述复杂的世界
• 根据题目难度的不同，我把所有的应用题分为四个等级：白描式应用题、隐含数字的应用题、隐含规律的应用题及实际工作生活中的问题．
• 对于一次方程，问题中有几个变量，就需要几个相互独立的等式才能求解
• 牛顿说，当面对一个抽象的问题时，要想解答它，首先要把它从普通语言转化为代数语言．

寻找隐含的数字：鸡兔同笼和浪费水的水池子

• 当我们在没有现成的数字可以引用的时候，我们还可以借用数字1来表示总的数量．
• 当我们发现应用题中给的条件不足的时候，就应该尽量从生活的常识里面去引用一些数字；如果常识也不能带给我们更多信息，那么，我们就可以尝试引入数字1来表示总量．

寻找隐含的规律：逆水行舟和溶液配比

• 第一步，要想解决这个问题，就要先离开这个问题，按照这个问题的大意，先仿造一个最简单的问题．
• 我们学习了根据问题列出方程的方法．其中最简单的问题是白描式的，基本上看见问题就能写出表达式；稍微复杂一点的问题是题目背后有隐藏的数字，需要我们结合实际，把缺失的数字找出来；而更为复杂的问题是在题目背后有隐藏的规律，要先化简、找到等量关系，而后再列个表格，把题目中的变量和数字都填入表格里面，从而得到我们所需要的方程组．

怎样洗衣服最干净？用算式计算出结果

• 第一步，从一个问题中发现可量化计算的规律；第二步，从给定的问题中发现常量和变量；第三步，列出算式并求得变量间的关系．
• 科学在很多时候都是违背人的常识的．
• 首先要看这个问题中是否隐藏着可以量化的客观规律，然后再找出过程中保持不变的数字；最后通过方程式来确定变量之间的关系．这样，我们就能通过控制一个变量，影响另一个变量了

手机图标应该分类吗？数学无处不在

• 解决世界上一切问题的三个整体的步骤就是发现问题、分析问题、解决问题

六 等式和不等式

• 第一，它表示在不同的事物中隐藏着相同的概念；第二，它表示在变化之中总有不变的规律；第三，它表示我们可以通过过程准确地预知结果．
• 第一，如果我们把等式的左右两边翻转过来，等式依然成立
• 等式的对称性，或者叫作反身性．
• 第二，如果两个数量都跟第三个数相等，那么这两个量也彼此相等
• 这个性质叫作等式的传递性．
• 反身性和传递性都是等式的最基本的性质
• 相同的事物，经过了相同的运动变化，必然会得到相同的结果，这是这个世界的动态变化原理
• 等式有三个基本性质，第一，等式具有反身性，也就是说等式的左右两边相互对换位置以后，等式仍然成立；第二，等式具有传递性，也就是说，两个式子都和第三个式子相等，那么这两个式子也相等；第三，等式具有协变性，也就是说，等式两边经过了相同的运算以后，等式仍然成立．

一元一次方程：等量关系

• 等式三个基本性质：反身性、传递性和协变性，
• 因为我们要把方程式中的某一项移动到另一边，所以这个操作就叫作移项．移项的关键在于，移项以后要注意改变加减符号．
• 一元一次方程的三个常用化简方法：移项、合并同类项、系数化简．
• ：任何一个数值，经过了一系列计算以后，再经过与之相反的一系列计算，还能得到原来的数值．

无所不在的不等式：差异的存在

• 价格不同，是驱动商品在市场上流动的原因．
• 世界上任何一种运动变化的背后，都是因为差异的存在．

不等式的性质：方向的改变

• 不等式也是有传递性的．也就是说，如果a＞b并且b≥c，那么a肯定是大于c的．
• 这就是不等式和等式的唯一差别，当不等式两边同时乘或除一个负数的时候，不等号要改变方向．
• 这正负号本身代表了什么呢？它代表的本来就是状态、性质和方向
• 如果系数是正的，那么通过乘除法化简以后，不等号不变；如果系数是负的，化简以后，必须改变不等号的方向．
• 问题的解法千变万化，其根本原因都是因为等式的协变性引起的

七 加减乘除的世界和人生

• 等式的协变性告诉我们，等式两边要经过一样的变化才能达到同样的结果
• 为了研究一个问题，就得把时间问题变成空间问题，把一个动态的过程变成摆在桌面上的一个静态的结果，把一个事件的发生过程变成我们可以观察的角度．这样一来，不可解的问题，就变得可解了．
• 俗话说，授人以鱼不如授人以渔．数学知识、数学定律，相当于一条鱼；而分析方法、思维方式，则是钓鱼的鱼竿，相当于渔．

乘法也没什么不同：乘法分配律

• 三个数相乘，得到的结果和乘数的顺序无关，乘法结合律成立．

负数会给我们添乱吗：数字带着加减号一起移动

• 如果说加法可以让我们由过程得到结果，那么减法就可以让我们由结果反推出过程
• 负号表示的含义是性质或者方向的改变
• 只要把减去一个正数当作加上一个负数来看待，原有的规律全部可以保持不变

减法和除法的独特优势：三个共同点

• 如果我们把除数和被除数的位置颠倒了，得到的商就是原来的商的倒数．
• 第一，对于减法而言，减数和被减数翻转以后，得到的新的差和原来的差是互为相反数的．与之对应，在除法当中，如果除数和被除数的位置颠倒了，得到的商和原来的商就互为倒数．
• 在一个加减法混合运算的算式中，如果是减数移动到算式的第一位，那么应该把减数变为它的相反数．同理，一个由乘除法组成的混合算式，如果一个除数移动到算式的第一位，那么除数应该变成自己的倒数．
• 如果是一个算式变形，那么加法和乘法更有优势；而如果是处理等式的变形，那么减法和除法就更有优势了．
• 如果说加法和乘法能够让我们远足世界，那么减法和除法就可以让我们回归初心．

人生中的加减乘除：平衡和取舍

• 这个世界最不可理解的地方就是它居然可以被理解．
• 第一个条件是人的抽象能力．我们之前曾经讨论过，世界上的一切计算方法都是源于加法的，而加法存在的前提就在于相加的两个事物须是相同的．可世界上的事物偏偏又是不同的，那怎么办呢？我们就只能利用人类的抽象能力了，
• 这个世界必须是有规律的，也就是在不同的事物中隐藏着相同的事物，不同的运动变化的现象中隐藏着相同的规律．
• 学习是做乘法，而工作是做加法．
• 人生的价值不在于我们积累了多少物质财富，而在于我们一生帮助和善待了多少人，在于在你临死的时候，有多少人真正地需要你，有多少人真正地怀念你．

八 二元一次方程

• 如果是由加减法组成的算式，就叫作多项式；如果是由乘法组成的算式，就叫作因式；如果是由除法组成，那就是分式．
• 代数式里的字母数量的总和，叫作变量的次数
• 代数式的次数等于所有指数的和．
• 如果这个单项式里有除法，而这个除数是一个数字，通常我们把它看作一个系数是分数的单项式．比如[插图]，我们就把它当作[插图]来看待，而不是把它当作一个分式．
• 单项式的加减法中，只有变量和次数都相同的才能进行合并，其结果是系数相加减，变量和次数保持不变．

多项式的禁忌：混合运算的顺序不可随意调整

• 由多个不能合并的单项式组成的加减算式就叫多项式
• 因为我们要证明或者证伪，并不是一个独立的现象，而是一个通用的道理，既然它是一个道理，就得非常普遍地存在才可以

九 学习方法和解题思路

• 不断试错、不断修正的办法是解决一切问题的通用办法．
• 世界上任何一道数学题的通用解法，这种解法就是：在弄清题意的基础上，先给出部分符合题意的一组数据；然后按一定顺序陆续给出一个系列的数据；再从这些数据序列中反复观察、发现规律，把其中不符合题意的那部分数据的变化规律找出来；最后利用这个规律，求得最终的答案．

更好、更快的解题思路：在知识之间建立关联

• 第一，要把所有基本的数学知识融会贯通；第二，要保持一个谦虚谨慎的态度．
• 勿因题难而焦虑，勿因题易而轻浮．
• 什么叫困难？把简单的步骤层层叠叠地积累起来，就是困难．什么叫伟大？把简单的事情全部都做好了，就是伟大！

更上一层楼：忘掉知识的具体形式，只看本质

• 第一层是在自己的头脑之中把数学知识分门别类绘制成分类图；第二层是要反复建立知识之间的关联，把平面的分类图变成立体的知识架构
• 很简单，把你头脑中的数学知识，把你眼前的数学题，进一步抽象，忘掉知识的具体形式，只看它的本质，只看它的关键点．
• 我们曾经用书架来比喻数学知识的架构，第一层境界是平面的书架，第二层境界是立体的书架，第三层境界是智能的书架．
• 更高境界的人不但具有把书看薄的本事、有看穿一切数学知识的洞察力，还要有洞穿整个世界的能力：他要具有发现问题的本领，能够从看起来不是问题的地方发现问题；他要有分析问题的本领，要在解题之前一眼就能看穿一道数学题到底有几种解法；至于解决问题，那只不过是水到渠成的事情．
• 我们分析了把知识融会贯通的四重境界，它们分别是：平面的知识、立体的知识、活着的知识、活动的世界．

十 指数和乘方运算

• 由底数和指数组成的这种计算方法，叫作乘方，它是在加减乘除之后的第五种计算方式．

同底数幂的乘除：四个运算规则

• 同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
• 同底数的幂相除，底数不变，指数相减．
• 第一，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；第二，同底数幂相除，底数不变，指数相减；第三，当指数是负数的时候，结果等于正数幂的倒数；第四，任何数的1次方都等于它自己，而除了0以外的任何数的0次方都等于1．

幂的乘方：商的幂等于幂的商

• 同指数的幂相乘，指数不变，底数相乘．
• 幂的积等于积的幂，同理，积的幂也等于幂的积．
• 商的幂等于幂的商．
• 幂的乘方，底数不变，指数相乘．

乘方的逆运算：六种运算的关系

• 根据幂和指数反推底数的运算，就是乘方的逆运算，叫作开方，开方的结果又叫作方根．

十一 根式运算

• 很多人高喊着改变世界的口号，实际上不但不具备改变世界的能力，甚至连认识这个世界都还没有完成

初中数学的所有数字类型

• 只要是无限不循环小数，都被称作无理数！
• 有理数和无理数统称实数．实数，按符号分，可以分为正数、负数和0；按算法分，可以分为整数、分数和无理数
• 我们假设0.999…＝x，等式左右两边乘以10，得到9.999…＝10x，在这个等式两侧分别减去第一个等式，得到9.999…－0.999…＝10x－x，合并化简得9＝9x，两侧同时除以9，得到1＝x，又因为0.999…＝x，所以0.999…＝1．

根式的运算法则：乘除、乘方及化简方法

• 最简根式有三个标准：第一，要把能开根号的字母或者数字全部都开根号出来；第二，要保证根号里头没有小数和分数；第三，如果结果是个分式，要保证分母的部分没有根式．这样的要求是不是有点苛刻？

乘方开方混合运算：规律和禁忌

• 计算优先级：括弧＞乘方和开方＞乘除＞加减

十二 多项式运算

• 二元问题，需要我们对两件不同的事做出选择；而二次问题要求我们对同一件事的不同方式不同程度做出选择．

完全平方公式：代数、图形和类比

• （a±b）2＝a2±2ab＋b2

十三 因式分解

• 在数学中，相乘的两个变量叫作因子，相乘的两个算式就叫作因式，所以我们就把一个多项式拆成几个因式的乘积的过程叫作因式分解．

学会“相面”：熟记特征

• 第一，根据乘法分配律直接提取公因式．

十五 二次方程及其应用

• 所谓二次问题常常是要对同一个事物的不同程度、同一件事情的不同方式做出选择．

一 致家长：当孩子学数学时，学的是什么

• 第一就是语文，它对应着孩子的沟通表达能力；第二就是数学，它对应着孩子的逻辑推理能力、分析判断能力．
• 人类最大的无知不在于你不知道什么，而在于你不知道自己不知道什么！

永远不要直接教孩子做题

• 作为家长，我们要做的、我们能做的，其实也只有两点：第一，让孩子主动学习；第二，陪孩子一起学习．

知难而喜：培养孩子独立解决问题的能力

• 任何一个高中生，都应该具备连续一周突击一道数学题的耐心；而任何一个初中生，则需要具备连续两三天面对一道难题的勇气．如果没有这样的耐心、没有这样的勇气，他凭什么考上大学，凭什么成为博士，又凭什么做出一番成就呢？
• 其实一切数学问题是有一套通用解决办法的，那就是：不断试错，不断修正，笔耕不辍，其解自得．

学习数学就是构建逻辑思维体系

• 所谓逻辑，就是我们人类认识世界的思维方式，逻辑推理主要有三种方法：归纳、演绎和类比．

几何学的5条公理

• 相互重合的两个图形全等，这就是第一条最基本最重要的公理．
• （1）相互覆盖的图形是全等的；（2）与同一事物相等的两个事物彼此也相等；（3）整体等于部分之和；（4）等量加等量，和相等；（5）等量减等量，差相等．

让数学家头疼了2000多年的问题：平行公理

• 第一，两点之间只能画一条直线，简称两点定线；第二，直线无限长；第三，给定半径和圆心可以画个圆；第四，所有的直角都相等；第五，两直线被第三条直线所截，如果相交在同一侧的两个内角相加等于平角，这两条直线就是相互平行的．

著名的三线合一定理

• 等腰三角形顶角的角平分线就是底边上的高，同时它还是顶点到底边中心的连线（简称中线）．