数学思维
献言
- 有人说，数学是一座美妙的花园。如果不是您的指引，我知道我一定会在花园中迷路。谢谢您带领我们从那最美丽的路径穿过这座花园。
关于数学的迷思
- 数学是关于数字的科学。
- 数学是关于得出正确答案的科学。
- 在学校，如果你写下10+4=2，你会被告知这是错的，但在某些情况下，这个等式是对的，比如计算时间——上午10点过去4个小时就是下午2点。
- 数学的目的是让事情简单化
- 你究竟是怎么做数学研究的呢？你也不可能再发现一个新的数字了啊！
- 言简意赅又不失新意的答案
- 在一场正式的宴会上，吓到别人的方法之一就是谈论数学。
- 这个分支叫作“范畴论”，可以被理解为“关于数学的数学”。它是关于关系、情境、过程、原理、结构、蛋糕和蛋奶糊的。
1 什么是数学？
- 数学，就像食谱一样，包含配料和方法。同样，就像食谱如果不谈论方法会变得无用，如果我们不谈论数学的研究方法，而只讨论数学的研究对象，我们就无法理解数学究竟是什么。
食谱书
- 大多数烹饪书都是根据菜品的性质，而不是烹饪方法来归类的
- 数学是由它的研究方法来定义的，而它的研究对象则是由那些研究方法决定的。
立体主义
- 用研究方法给数学分类与艺术流派的分类十分相似。诸如立体主义、点彩画派、印象派这些流派都是依据作画方法，而不是依据作画内容来划分的。
- 数学是运用逻辑规则，对所有符合逻辑规则的事物进行的研究。
谁是首相
- 数学持续发展的原因之一就是，一旦你掌握了一种方法，你总能找到更多可以用它来研究的对象，然后你又能找到更多研究这些对象的方法，再然后你又能用新方法找到更多可以研究的对象，如此循环往复，就像鸡生蛋，蛋生鸡，鸡生蛋……
山脉
- 第二种是“广义化”：我们明白了如何用我们已经理解的事物来建构更复杂的事物。
鸟类
- 因为数学研究的是关于事物的想法，而不是真实事物本身。因此，我们只需要改变自己头脑中的想法，就可以改变我们的研究对象。通常，这意味着改变我们对某种事物的看法，改变我们的视角，或是改变我们描述的方式。
- 数学的发展可以说经历了以下几个阶段：1. 它起源于对数字的研究。2. 人们想出了一些方法来研究这些数字。3. 人们意识到，这些方法也可以用来研究其他事物。4. 人们四处寻找其他可以用这些方法来研究的事物。
2 抽象
- 数学也是如此，通过寻找除了微小细节外其他大体一致的事物来达成简化的目的。
派
- 关键在于你要先忽略一些细节，让事物变得更容易理解，在这之后，你可以考虑重新加入额外的变量。这就是抽象化的过程。
- 该例表明，抽象上来看，一个等边三角形的对称问题与数字1、2和3的排列问题相同，因此，我们可以同时研究这两个问题。
杂乱的厨房
- 抽象就是把你目前不需要的想法收起来，这样你的大脑就不会那么杂乱。
甜食
- 我们丢掉了一些现实性的细节，却获得了新的视角和更高的处理效率。数字的好处在于，我们可以研究“东西”，并且不必因为“东西”自身属性的不同而改变我们的思考路径。
点兵点将
- 最后，他们意识到他们要把这首诗里的每一个字都精准地对应上一样东西，一字一物，不多不少。直到此时，他们才真正学会数数。这就是一种抽象化的过程，而且是一种出奇深奥的抽象化过程。
- 简单地学习背诵“1、2、3、4……”这首诗与理解如何用它来数数是截然不同的两件事。
婴儿和洗澡水
- 决定忽略哪些特点主要取决于我们讨论的情境。
心碎
- 看上去，抽象好像会带着你逐步远离现实，但实际上，它会带领你逐步贴近事物的本质或核心。要抵达核心，你就必须剥离衣服、皮肉和骨头。
路标
- 抽象作为对事物理想模式的研究
- 数学的抽象化过程的弊端之一就是，你需要用到一大堆稀奇古怪的符号
- 就像路标一样，以符号为主要语言的数学一开始看上去的确很难理解，但长远来看，符号起到了重要的简化作用。
谷歌地图
- 在实际应用中，困难存在于抽象与现实之间的转化，也就是在地图和你要找的地方之间建立联系。
- 数学也必须经由这几个步骤来实现。首先，你需要提炼现实。然后，你需要在抽象的世界进行逻辑推理。最后，你需要把这些抽象的东西再应用到现实中去。
- 在数学里也是如此，不同的情境需要不同程度的抽象。
- 第一个回答：1是数数的基本单元。第二个回答：1是唯一一个其他数字乘以它之后不会发生变化的数字。
- 在数学中也是如此。如果你把某种过于复杂的数学概念或方法应用到一个并不真正需要它的情境中，你就会觉得这种数学概念或方法毫无意义。
跳高
- 不同的人会在不同的“高度”达到自己的抽象极限，就像在跳高中，横杆每提高一次就会有一部分人失败退出。
- 另一个很多人在学习数学的过程中会遇到的瓶颈是微积分——一种全新的、奇怪的，甚至可以说是狡猾的运算和推理“无穷小”的事物的方法
- 人们认为它难，是因为它不符合人们通常所理解的数学——确切地描述及阐释事物并给出高度确定性的答案。
- 如果你不喜欢抽象，那你为什么还要研究数学呢？也许你该去金融行业，毕竟，那里所有的数字前面都有一个美元符号。
- 当你因为之前没有搞懂一件事而觉得自己很傻的时候，这种心情恰恰说明，你现在比当时更聪明了。
- 只包含一个对象的范畴就是幺半群”
- 范畴论研究的是事物之间的关系，一个范畴就是一个研究这些关系的数学情境。
下金蛋的鹅
- 这就是一种抽象：制造机器来做某件事，而不是直接去做某件事。这种做法的目的是节省人力和脑力，让人类只需要负责思考那些机器做不到的事情。
- 要制造一台机器去做本来由人来做的工作，你首先需要做到在不同的层面上对这项工作有所理解。
- 如果你想要制造一台做蛋糕的机器，你就必须把制作蛋糕的每个步骤分析得清清楚楚，这样你才能弄明白该如何让机器去完成这个任务。
- 代数基本定理”（fundamental theorem of algebra）：任何一个一元复系数方程都至少有一个复数根。
切蛋糕
- 我们的目的不在于解决这个具体的问题，而在于研发一种机器，用于解决这一类的问题。
- 我们要做的不是真的去解决这个问题，而是试图找到让别人能够解决这个问题的方法。
- 做蛋糕并不需要耗费多少脑力，但发明一种新的蛋糕烹饪方法就不一样了，你需要变得比之前更聪明一些。
- 如果你把一支火把放得远一些，这支火把就会照亮更大的区域——但也要注意别放得太远，因为那样的话光就变得太暗了。
抽象的数学
- 抽象是理解数学的关键。抽象也是数学看起来远离“实际生活”的原因所在。这种与实际生活的疏远正是数学发挥其优势的地方，同时也是它的局限性所在
- 抽象是理解为什么数学与普遍意义上的科学有所不同的关键。对以实证为基础的科学来说，证据总是最重要的。首先你需要提出一个“假设”——一个你觉得可能正确的理论，不论这个理论是源自观察、直觉、怀疑、偶然见闻还是其他。然后，你需要通过寻找符合科学标准的证据来严格检验这个假设。
- 数学则与此不同。数学研究的第一步与其他科学没什么不同——提出一个你认为正确的假设。但接下来就不一样了，我们不再使用实证性的方式来严格检验这个假设，而是使用逻辑来严格检验这个假设。
- 使用逻辑推理来代替实验有许多好处。
- 前者最重要的优势在于，借助逻辑推理，你所得出的结论不仅仅是“几乎肯定是正确的”，更是完全不可辩驳的。
逻辑是如何运作的？
- 逻辑性论据包含一系列的主张，其中的每一个判断都是完全依据逻辑由上一个判断推导出来的。
- 你得到的最终结果的不准确之处就源于你最初对实际问题进行抽象化处理的过程中所丢掉的信息。
- 采用数学的方法（与之相对的是通常人们所说的“科学的方法”）要求你必须清晰地陈述你的假设是什么。人们可以不同意你的假设，但是他们不能不同意你的结论
- 抽象的美妙之处在于，在你对某个抽象概念已经非常熟悉了以后，它似乎就变成了一个具体的事物，而不再是一个想象出来的概念。
- 数学的抽象带领我们进入一个想象的世界，在这里，任何事情都有可能发生，只要它的存在不是自相矛盾的。
运用抽象来计算
- 1. 我们从一个用文字描述的“实际生活”问题入手。2. 我们运用抽象的方式将这个问题转变为逻辑概念。3. 我们借助逻辑规则来处理这些抽象的概念。4. 我们取消抽象，将问题的答案放回实际生活场景之中。
- 抽象的方法会耗费更多的脑力，但它不会浪费那么多的糖霜。
3 原理
- 如果你理解了一个过程背后的原理，而不是只记住整个过程，你就能更有效地控制这个过程，而一旦出现问题，你也可以更有效地进行解决，并且可以更好地调整整个过程的部分环节，以使这个“配方”适用于不同的目的。
在醉酒的时候烘焙
- 理解方法背后的原理还能帮助你在不搞砸整个过程的前提下走捷径，
- 理解就是力量。如果你帮助某人更好地理解了某样东西，你就赋予了他更多的力量。
焊接
- 我仍然认为，理解一件你一直在使用的工具其背后的工作原理是个很好的主意，因为这样一来，在发生故障的时候，你就掌握了更多的主动权，并且你也更有可能让这件工具最大限度地发挥效用。
- 这就是为什么在数学教学中，很重要的一件事是理解学生的思维方式，并且指出他们思考过程中的逻辑错误出在哪里，而不是只看最终答案是错是对。
火星
- 学习事物背后的运作原理的目的之一就是理解到底是什么使得它能够正常运作
- 质数就是只能被1和它自己整除的数（而且1不是质数）
数字的原则
- 发现事物背后的运行原理叫作公理化（axiomatisation）
- 这就是理解事物背后的原理的意义——把它们应用到其他领域。
- “每样东西在每一行和每一列只能出现一次”这一规则多少有点儿像简化版的数独，这个规则在数学上被称为“拉丁方阵”（Latin square）性质。
4 过程
- 数学不只是关于结果，它更多地是关于理解得出结果的过程。
纽约马拉松比赛
- 意义更多地在于过程本身，而不只在于抵达终点。
口袋里的钱还在吗？
- 在数学里，这个答案会被认为是一个错误答案，因为我们感兴趣的是得到正确答案的过程，而不只是答案本身。
欺骗
- 在数学中，我们永远不能为了结果而不择手段。我们必须选择正确的方法来证明某个命题的正确性，这也是数学方法存在的根本原因。
积非成是
- 你能肯定你的答案是正确的唯一方法就是确保你的推理过程是正确的。
为什么？为什么？为什么？
- 我们不喜欢被迫承认“我不知道”，因为大多数时候我们都不喜欢被挑战理解能力和知识储备的极限。
- 但孩子们的这种本能仍然很美好，这是知道与理解之间的差别。
- 数学的核心就是理解事物，而不仅仅是知道它们。
数学证明
- 这种证明并非关于搜集证据，而是关于运用逻辑。
- 数学里我们只关注那些遵循逻辑的事物。
- 如果A能够被B整除，并且B能够被C整除，那么A就能够被C整除。
- 对于用字母来替代所有数字这种做法，你感觉如何？这个步骤是很多人对数学感到不习惯的开始。
- 此类关于A、B、C的关系被称为“传递性”（transitivity）
- 为了能够运用逻辑规则，我们必须离开我们已经熟知的那些关于数字的知识和情境，离开我们的舒适区。但这一做法的长远回报是巨大的——有很多领域是你可以借助逻辑推理来理解却无法用本能和直觉来理解的。
- 一个重要性较小的结论被称为“辅助定理”或“引理”（lemma），一个中等重要的结论被称为“命题”（proposition），一个相当重要的结论被称为“定理”（theorem）
- 因为经过三维空间中的任意三点的平面有且只有一个，而经过三维空间中任意四点的平面可能并不存在。
- 除了逻辑规则，数学几乎不假定任何事实是基本的或者既定的——它总是在寻求更深层次的解释。
5 推广
- 数学中“推广”（generalisation）这个概念的意义——你从一个你熟悉的情境出发，对其稍加改动，使其可以应用于更多的其他情境。
无面粉巧克力蛋糕
- 反证法”——做与待证结论相反的事，然后证明在这种情况下你会得到完全错误的结果，于是得出待证结论是正确的这一判断。
- 有时，反证法并不能让人满意，因为它并没有解释为什么一件事是真的，它只解释了为什么一件事不可能是假的。
- 反证法是一种非常有效率的证明方法，当数学家无法直接证明一个结论为真的时候，他们可能会将反证法作为万不得已的最后手段——证明待证结论不可能是假的。
平行线
- 而最原始的平行公设成立于表面为平直表面的情形，这种数学情形就被称作欧几里得几何。
出租车
- 芝加哥的门牌号是以距离命名的，所以“5734号南”（芝加哥大学数学系的门牌号）就表示这个地址在0号以南多远，而不是说它是南面的第5734栋楼。我第一次知道这件事时惊叹极了。在已知每800号等于1英里的前提下，计算出租车需要行驶的距离就相对容易许多了。
- 丢掉一部分会带来麻烦的细节就是一种“理想化”，这对数学而言是一个很重要的环节。
火车票
- 而是因为复杂的问题通常建立在简单问题的基础之上，所以我们必须先解决简单的问题。
- 在数学里，打破规则的目的不是标榜叛逆，而是检验这个规则的有效性和应用边界。
网络约会
- 在数学中，考虑违背一条或几条关于度量的规则的情况，是一种对距离这个概念进行推广的有效方法。另一种方法则是将推广和抽象结合起来，该方法将引入“拓扑学”
三维的笔
- 增加维度是数学推广的一种重要形式。
概括性陈述
- 这种推广更多的不是放宽一些条件让更多的符合者进来，而是暂时忽略一些没那么重要的因素，聚焦于核心属性。
- 从例外情况中，我们可以学到很多有趣的东西，即使那些例外情况很罕见，并且没那么有代表性。而如果我们不研究常规情况，我们又如何知道某种情况是反常的呢？这就需要我们暂时忽略特殊情况了。
甜甜圈和咖啡杯
- 另外一个我们并不太关心的问题是曲率。
- 从拓扑学的角度讲，大部分字母都是一样的。这也正是电脑很难识别手写字母的原因之一。
- 从拓扑学的角度讲，甜甜圈和咖啡杯是一样的。
一次对想象力的挑战
- 数学的强大之处就在于它使得我们不需要真正将某个概念想象成实物就可以对问题进行严谨的研究。
一个推广游戏
- 适当放宽条件是数学推广的一种常见方式。
- 推广不是一个自动化的过程。推广总是有不同的可能性，而推广的结果并不完全取决于推广的程度，它也取决于推广的方向，即你看待某个概念的角度。
6 内在和外在
- 如果你先选定了一个菜谱，那么按照它来买菜做饭就是一个出于外在动机的行动；如果你决定使用已有的原材料做饭，那么这就是一个出于内在动机的行动。
旅游业
- 很多时候，数学都是在试图回答一个特定的疑问或者解决一个特定的问题。也就是说，你有一个确定要去的目的地。这就是外在动机
- 学校数学课的问题之一就是几乎所有的学习都是由外在动机驱动的。
- 与上数学课相对，在数学研究中，情况通常是相反的：你会给自己一个起点，然后看看自己能走到哪里去。我称此为“内在动机”。
- 几百年来，人们都认为研究质数没有什么实际应用方面的价值。然而，数学家依然痴迷于研究它们，因为它们本身就很迷人，而且它们是如此的简单、基础。
- 费马大定理说的是就方程an+bn=cn而言，如果n是一个大于2的正整数，则不存在非负整数a、b和c使该方程成立。
- 而当两者合一的时候，你就会找到一条既有趣，又指向有意义的终点的道路——这是两种动机的有效结合，也是数学最美妙的部分。
- 范畴论则稍有不同。这个数学分支的目的之一就是找到每项数学研究、每个数学概念的内在动机，或是找到一种看待事物的新观点，启发已经存在但未被发现的内在研究动机。
拼图
- 根据完全图来拼拼图就像数学里由外在动机驱动的研究。你有一个清晰的目标，你知道目标具体是什么，你努力达到这个目标。而不看完成图直接拼拼图则像数学里由内在动机驱动的研究。你试着根据拼图碎片自身的结构及其与其他碎片的关系来组合它们，而不是根据它们与一个外在的完成图的关系来摆放它们。
数学创新
- 一种是由内在动机驱动的，即跟着直觉和想象力走，发明一些你感觉有趣或合理的东西。另一种是由外在动机驱动的，即为解决一个特定的问题而寻找、开发解决办法。
- 在数学里，“害处”指的是“造成逻辑矛盾”。如果一件事没有造成逻辑矛盾，你就可以做这件事。
- 关键就在于，在数学里，一旦你想象出一个东西，只要它本身不存在逻辑矛盾，那么它就存在了。
- 最好的数学发明是那些既合理又能解决很多业已存在的问题的发明。
7 公理化
- 数学研究的目的之一就是“从零开始”。重复问“为什么？为什么？为什么？”的一个结果就是你会得到越来越基础的概念。
乐高积木
- 在某种程度上，公理化就是由外在动机驱动的、处理整个数学体系乃至数学世界的一套方法。它是一种逻辑性的方式，用于梳理你希望创建的数学体系的基本结构。
医生护士足球赛
- 关键在于理解质数为什么存在——它们是我们运用乘法而非加法构造新的数字时所使用的基本构件。
公平与否
- 我们现在要玩一个游戏，这个游戏的主要内容就是把虚数当成积木来搭建东西，你是否相信它的存在并不重要——它就是游戏规则的一部分。
跳高
- 数学关乎剔除事物中主观人为的部分，让事情只遵循逻辑运行。
- 我们的目的是清晰、准确地认识事物的某些方面。
为什么？为什么？为什么？（再一次）
- 作为成年人，我们习惯了接受权威灌输给我们的事实，即便我们没有得到解释
- 我们希望孩子们学会以“理性”处事，但我们有时也希望他们能相信他们并不理解的事情就是事实。这种矛盾让孩子们困惑不解，对此我并不感到奇怪。成年人一直在确实符合逻辑的事实和盲目“相信”之间随机摇摆。
- 所有数学问题的解决都可以看作我们从某个基础假设A、B、C等出发，试图用逻辑和推理规则得到最终结论Z。
幽门螺旋杆菌
- 清晰阐述某个系统的公理的目的之一就是弄清楚哪些事实可能需要再次被证实
婴儿猝死症
- 不使用逻辑是很危险的，但有些时候，错误地运用逻辑更加糟糕，因为逻辑元素的引入为论断增添了表面上的科学性，这就让并非专家的普通人很难辩驳。
国际象棋
- 设定游戏规则，或是给一个系统设定公理，这件事带来的成就感就在于，你可以看到用如此少的规则或公理就能创造出一个非常复杂的游戏
- 如果在你设定的规则或公理中，其中一条规则可以由其他规则推导出来，那么你就应该把这条规则剔除出去。
数字系统、钟和平衡
- 数学的终极目标是找到事物的相似性，而范畴论就是关于找到数学事物的相似性的学科。
逻辑与非逻辑
- “简单”意味着：如果某事可以通过逻辑思考得出结果，它就是简单的。也就是说，不需要依赖于想象力、猜测、运气、直觉、复杂的解释、信仰、勒索、毒品、暴力等，你就可以解决问题。
数学是简单的
- 1. 提供一种对概念进行精准描述的语言和一个清晰阐述关于这些概念的论证的系统。2. 对概念进行理想化处理，着重探讨不同概念的相似部分，从而使得对不同概念的同时比较和研究成为可能。
香蕉和金发女郎
- 换句话说，数学研究的是我们不必剔除的部分——那些简单的部分。
如果数学很简单，为什么它学起来很难？
- 如果有人觉得数学很难，那么原因也可能是他们没有兴趣去解答数学试图简化的问题
逻辑的背景
- 在民主系统中，每一个个体的信念都具备“内部一致性”及“演绎封闭性”（deductively closed）。
- 如果逻辑上任何从你的某个信念演绎出的其他信念也是你的信念之一，那么你的这一组信念就具备了封闭性。
生活是复杂的
- 在实际生活中，大步迈进往往能带来灵感的火花。这些大步迈进往往与逻辑无关。
- 只要你的基本认知属于你所处社会认可的“理性之事”的认知库，你就可以被认为是一个理性之人。
- 清楚地知道你的基本假设绝对是数学这个学科的一部分，也是数学之所以很简单的一个原因。
数学不是生活
- 数学是简单的，生活是复杂的，因此数学不是生活。
- 数学的追求就是“准确地理解什么是简单的，并努力让越来越多的事情变得简单”。
- 如果没有那些非理性的、不合逻辑的事物存在，人类就没有了语言，没有了交流，没有了诗歌，没有了艺术，也没有了乐趣。
9 范畴论是什么？
- 纯数学则更为抽象一些：它是应用数学背后的理论
乐高，又一次
- 纯数学就像只用最基础的乐高积木从零开始搭建一切。应用数学则更像使用特制的积木部件来搭建特定的模型。
- 拓扑学是纯数学的一个分支，它研究的是物体的形状，比如曲面。
- 拓扑学的一个规模更大的应用领域是宇宙学，在该领域，它被用于研究时空的形状。
- 微分方程是数学中应用范围最广的领域之一，因为实际生活中的所有事物几乎都在以某种速率波动变化着。
乐高乐高
- 逻辑研究的是把数学概念结合起来的推理，而范畴学研究的是支撑数学这门科学的基础框架。
- 准确地理解数学的哪些部分是简单的，并努力让数学越来越多的部分变得简单的过程。
- 在本书第一部分，我们讨论了数学如何将具体事物抽象化，以此研究事物背后的原理和隐藏的运行过程，以及如何将这些原理和过程进行公理化和推广。
- 它对数学进行抽象化，依次研究数学背后的原理和运行过程，并试图将这些原理和过程进行公理化和推广。
- 事物的系统化往往是一个耗费时间、十分复杂的过程，但系统化的必要性就在于它能帮助你更清晰地思考。
10 情境
- 范畴论强调我们思考问题的情境，而不只是事物本身。
- 数字的性质取决于我们放置它们的情境。
兄弟姐妹
- 范畴论也强调作为研究对象的事物所处的具体情境，而非只研究事物本身的特性。
网络约会
- 范畴论强调的是，在讨论一个问题时，你需要注意这个问题所处的情境，这一点非常重要。
猜数字
- 你可以通过了解某事物和其他事物的关系来了解这个事物。
- 范畴论重视事物间的关系胜于事物本身的固有特性。
- 在数学里，只要你能将某个事物想象出来并且其中不存在矛盾，那么该事物就可以存在。
- 范畴论是通过筛选出事物之间我们真正感兴趣的那些关系并强调这些关系来实现其研究目的。
11 关系
- 比起只研究事物及其固有特性，范畴论更强调事物与其他事物的关系，并以此作为将事物置于具体情境中的主要方法。
性别平等
- 在范畴论里，消除歧义意味着研究一些宏观的结构类型，其中相等只是一个特例
- 范畴论的一个终极目的就是阐明关于相同的那些有趣的概念，但它是从研究总的关系开始的。
埃尔德什数
- 一旦你决定了要研究哪种关系，你就可以试着思考这个系统中是否存在一个“特别的物体”，其本身就包含了成千上万条重要的信息，就像一个诸如晴雨表、试金石或者埃尔德什这样的基准物。数学家将此类事物称为“泛性质”（universal property）。
朋友
- 第一条法则是“自反性”（reflexivity），也就是每个事物都与它们自己相关联。第二条法则是“对称性”（symmetry），也就是说，如果A与B相关联，那么B也与A相关联。第三条也是最后一条法则是“传递性”（transitivity）
范畴的公理化
- 在数学里，一个范畴最基本的形式是一个集合里的元素以及这些元素之间的一组关系。
12 结构
- 范畴论研究的一个重要方面就是确定某个数学概念的哪一部分是结构性的
多层停车场
- 是什么支撑起了某个事物？哪些部分是你可以抽出来而不会让整个事物坍塌的？
光盘
- 在范畴论里，研究事物结构的一个很重要的方面是探索如果去掉这个结构的某些部分，这个结构会出现什么问题
钱
- 范畴论研究的目的是确保你在研究数学的每时每刻都要注意你采用了怎样的结构使得研究继续下去。
- 范畴论的初衷是在不同的数学世界之间建立联系，以及发展一些适用于不同世界，且不需要付出额外努力就可以直接使用的技术。
网络购物
- 范畴论的目的之一是确切定义“在某种程度上相同”的各种不同解释的可能含义是什么，因为在不同的情境中，有用的或者有关的关于相同的解释是不同的。
巧克力蛋糕
- 在范畴论里，只有当从A到B的过程可逆的时候，这两个事物才能算作“近乎相同”
14 泛性质
- 研究事物在特定情境中所扮演的角色是范畴论的专长，因为范畴论一直在强调情境和事物间的关系。
灰姑娘
- 泛性质研究的一个重要方面是找到一个能独一无二地定义某事物的特点
埃尔德什
- 理解对于某事物来说维持其基本特征所需要的最少的资源是范畴论的一个重要目标。
真理的三位一体
- 真理的三个方面或三种形式：1. 相信2. 理解3. 知道
- 理解某种方法的工作原理而非仅仅知道可以使用这种方法，能让我们将业已习得的知识迁移到其他情境。
证明与启发
- 证明是用来说服整个社会的，而启发是用来说服我们的。
- 毕竟，数学研究的目的并不只是说服我们自己这些事情成立，我们的最终目的是增进我们对周围世界的认识，而不仅仅是堆积只能存在于我们自己头脑里的那些知识。
真理之圆
- 一个经过充分解释的、富有启发性的方法会减少很多困惑、强迫性和恐惧。
- 知识不再是秘密，但理解仍然是秘密，至少在数学领域里仍是如此。各个学力水平的学生都只被教授了规则，而没有被告知原因。我们鼓励孩子们问为什么——但只鼓励到某个阶段，因为过了那个阶段，我们自己可能也不理解了。而由于我们自己无力提供解释，我们就压制他们寻求解释的诉求。