从一到无穷大

乔治·伽莫夫

前言

• 譬如原子、恒星、星云、熵和基因；譬如人能不能弯曲空间，火箭为什么会缩短。是的，在这本书里，我们将讨论以上所有问题，以及其他很多同样有趣的东西。
• 《太阳的诞生和死亡》和《地球小传》

1961年版前言

• 我们估算的宇宙年龄从原来的20亿到30亿年增长到了现在的50亿年以上 ，加州帕洛马山之巅新竖起的200英寸海尔望远镜的最新观测结果也帮助我们完成了天文距离尺度的修订。

第一章 大数字

• 一些非洲探险家的确提到过，很多霍屯督部落的语言里没有超过3的数字。
• 对古人来说，那些特别大的数字都是“不可数”的，譬如天空中有多少星星，海里有多少条鱼，或者海滩上有多少粒沙子；于是他们只好像数不到“5”的霍屯督人一样，简单地概括说，“很多”！
• 阿基米德在这本著作中介绍的描述极大数字的方法和我们今天的科学记数法十分相似。他先是采用了古埃及算术中最大的数字“myriad”，即一万。然后阿基米德引入了一个新的数字，“myriad myriad”（一万的一万倍，即一亿），他称之为“octade”，或者说“第二级单位”；以此类推，“octade octades”（一亿亿）被称为“第三级单位”，“octade octade octades”就是“第四级单位”。
• 事实上，宇宙中每立方米的空间内平均只有大约1个原子。
• 根据现有的宇宙演化理论，恒星、太阳和包括地球在内的行星大约是在30亿年前凝聚成形的
• 事实上，这样一台自动印刷机必将印出自人类学会写字以来所有人写过的所有东西：每一行散文和诗歌、每张报纸上的每一篇社论和广告、每一部沉闷的科学论著、每一封情书、每一张留给送奶工的纸条……
• 这就是康托尔提出的比较两个“无穷数”的方法：我们可以对两组无穷数进行配对，每个集合里的一个元素分别对应另一个集合里的一个元素，如果最后它们正好一一对应，任何一个集合都没有多余的元素，那么这两个数的大小相等；但是，如果两组无穷数无法一一对应，某个集合中存在无法配对的剩余元素，那么我们可以说，这个集合的无穷数更大，或者更强。
• 事实上，在无穷数的世界里，部分可能等于整体！
• 不过简而言之，这不就是说所有无穷数都相等吗？如果真是这样的话，比较它们的大小又有什么意义？
• 一条线上的点和整数之间无法建立一一对应的关系，这意味着一条线上点的数量大于，或者说强于所有整数或分数的数量。
• ℵ₀代表所有整数的数量，ℵ₁代表所有几何点的数量，ℵ₂代表曲线的所有种类，但截至目前，还没有任何人能找到可以记作ℵ₃的集合。

第二章 自然数字和人造数字

• 数学通常被人们，尤其是数学家视为科学界的皇后，作为皇后，它自然不愿意和其他任何学科产生暧昧的关系
• 不过，哪怕是在今天，数学领域内仍有一套庞大的体系一直坚守着“无用”的高贵地位，它唯一的作用就是帮助人们锻炼智力，这样的超然绝对配得上“纯粹之王”的桂冠。这套体系就是所谓的“数论”（这里的“数”指的是整数），它是最古老、最复杂的理论数学思想之一。
• 我们刚才采用的证明方法叫作“归谬法”（reductio ad absurdum），它是数学家最爱的工具之一。
• 质数。 费马的公式是这样的：，其中n代表自然数，例如1、2、3、4等等。
• 哥德巴赫猜想”（Goldbach conjecture）。这个猜想是在1742年提出的，它宣称任何一个偶数都能表示为两个质数之和
• 在某个给定的数字区间内，质数所占的百分比是多少？随着数字的增大，这个百分比是否大致保持恒定？如果不是的话，那么它是上升还是下降？
• 数字越大，质数出现的频率就越低，我们能不能用一个简单的数学式来表达这样的趋势呢？答案是肯定的，描述质数平均分布的定理是整个数学领域最重要的发现之一，它可以简单地表达为：在1到大于1的任意自然数N的区间内，质数所占的百分比约等于N的自然对数的倒数。N越大，这个式子得出的结果就越精确。
• 毕达哥拉斯定理即勾股定理
• 方程x2+y2=z2有无穷多组整数解，但对于xn+yn=zn这样的方程[插图]，如果n大于2，那么该方程无解。
• 但数学家都是顽固的家伙，如果某种完全没有意义的东西反复出现在他们的方程里，他们就会想方设法赋予它意义。
• 虚数家族就像正常数字（或称实数）虚幻的镜像。所有实数都以数字1为基础，同样地，我们可以利用[插图]构建出所有虚数，这个基数通常记作i。
• 从几何角度来说，用一个数乘以i，相当于让它对应的点在坐标轴内逆时针旋转90度。
• 利用−1的平方根这个虚数，人们还找到了另一座惊人的宝藏：我们习以为常的三维空间竟能和时间结合起来，形成一个符合四维几何学的统一坐标系。

第三章 宇宙的奇异特性

• 三个互相垂直的独立方向的存在代表着我们生活于其中的物理空间最基本的特性，所以我们说，空间是三维的。空间中的任意位置都能用这三个维度来表达。
• 几何学的这个分支被称为位相几何学（analysis situs）或者拓扑学（topology），它是数学中最困难也最刺激的一个部分。
• 任意形状的多面体顶点、棱和面的数量之间有何关系？
• 那么显然，V+F=E+2是拓扑学中的一个通用数学定理，因为这个等式不需要测量棱的长度或者面的大小，它只和几个不同的几何单元（即顶点、棱和面）的数量有关。
• 欧拉的公式还证明了一个有趣的推论：正多面体只可能有五种，
• 通用公式可表达为：V+F=E+2−2N，其中N代表通孔的数量。
• 通用公式可表达为：V+F=E+2−2N，其中N代表通孔[插图]的数量。
• 看来无论地图有多复杂，四种颜色都足以区分相邻的区域。
• 如果有谁能证明不光五种颜色够用，而且只需要四种颜色就足以绘出任意地图；或者怀疑四种颜色不够用，进而亲手画出了需要超过四种颜色的地图，这两个方向的尝试只要有一个能获得成功，那么在未来的数百年里，这位智者的大名都将被镌刻在理论数学的编年史上。
• 作为三维生物，我们只能“从里面”观察空间，而不能像研究特殊的面那样“从外面”观察。
• 想象一下，如果这些隧道变得越来越细，数量越来越多，苹果的整个内部空间最终将变成两个彼此交缠，但只通过共同的表面相连的独立空间。
• 这种没有明显边界但并非无限的“自我封闭三维空间”
• 没有对称平面的物品可以归为两类——左手性的和右手性的。
• 比如说，糖就有左旋和右旋两种，不管你信不信，以糖为食的细菌也分为两种，每种细菌都只能吃对应手性的糖。
• 以此类推，我们可以说，如果让右手套离开三维空间，在第四个维度中以某种合适的方式将它翻转，再让它重新回到我们的空间里，那么它也可以变成左手套。但我们的物理空间没有第四个维度，所以上述方法不具有可操作性。还有什么别的法子吗？

第四章 四维世界

• 三维球体在二维面上的投影是两个点对点重叠的圆盘，它们只通过共同的边缘相连；那么超球体的三维投影必然是两个重叠的球体，只通过共同的表面相连。
• 你住的房子在长度、宽度、高度和时间这四个维度上延展，它在时间维度上的跨度始于建成之日，终于毁灭那一天——无论是烧毁、拆毁还是因年久失修而倒塌。
• 用四维时空几何学的术语来说，代表每个独立的物质粒子的生命史的线被称为“世界线”。同样地，组成复合物体的一束世界线被称为“世界带”。
• 从四维时空几何学的角度来看，宇宙的拓扑图形和历史融合成了一幅和谐的画卷，要研究独立的原子、动物或恒星的运动，我们只需要思考纠缠成束的世界线
• 虽然人们常常叫它“光速”，但更科学的描述应该是“物理相互作用的传播速度”。因为在真空中，物体之间的任何一种力（无论是电磁力还是引力）都以同样的速度传播。
• 显然，光传播的速度太快，跨越几英里需要的时间极短，他们观察到的延迟实际上是因为助手并未在看到灯光的同时立即打开遮光板——如今我们称之为反应延迟。
• 根据爱因斯坦的想法，应用毕达哥拉斯定理的时候，我们可以在时间坐标的平方前面加一个负号，以此来表征空间距离和时间间隔之间的物理区别
• 实数的四维距离与普通空间距离的关系更为密切，而虚数四维距离与时间间隔的联系更紧密。

第五章 空间和时间的相对性

• 因为在运动的车辆内部，时间流逝的速度会发生变化，记录时间的机械装置也会相应地变慢
• 四维几何学认为空间和时间只是恒定不变的四维距离在对应轴上的投影，因此我们必然得出上述结论。
• 普通物质的所有力学性质最终都能追溯到构建物质的原子的相互作用。
• 这样的收缩来自空间本身，以相同速度运动的任何物体都会产生同样程度的收缩，这仅仅是因为它们都嵌在同一个收缩了的空间里。
• 空间变形引起物体变形和其他外力导致物体内部产生应力而变形，这是两种完全不同的情况，我们必须严格地将二者区分开来。
• 如果物体的运动速度相当于光速的50%、90%乃至99%，那么它的长度将分别缩小到静止时的86%、45%和14%。
• 从四维几何学的角度来看，我们观察到的所有运动物体普遍的收缩现象可以简单地解释为，时空坐标轴的旋转导致这些物体不变的四维长度在空间轴上的投影发生了变化。
• 如果接近光速会使运动系统内的时间变慢，那么超光速会导致时间倒流！此外，由于毕达哥拉斯根式下代数符号的变化，时间坐标将变成实数，从而转化为空间距离；基于同样的道理，超光速系统内的所有长度也将越过零点变成虚数，变成时间间隔。
• 任何物体的运动速度都不可能达到或者超过光速。
• 我们常常将曲面上代表最短距离的线称为“测地线”（geodesical lines）或“大地线”（geodesics），
• 大质量物体附近的物理空间会变得弯曲；质量越大，空间曲率也越大。
• 光总是沿着最短的路径传播。
• ：引力现象只不过是四维时空世界的弯曲产生的效应。
• 足球那块皮中心点周围的材料太少，不足以让它展平；而马鞍那块中心点周围的材料太多，必须叠起来一部分才能展平。
• 哪怕居住在二维面内的影子科学家无法跳出自己的世界从外面观察它的形状，但是只需要数一数落在不同半径内的青春痘的数量，他们就能推测空间的曲率。

第六章 下降的阶梯

• 牛奶其实是黄油小液滴悬浮在均匀白色液体中形成的稀薄乳浊液。
• 土壤最大的作用是为植物提供支撑和水源储备，以及植物生长过程中必需的一小部分特定种类的盐；只需要顶针大小的一块土壤，你就能培植出一棵很大的玉米。
• 火焰实际上只是大量的受热气体，燃烧过程释放的能量让这些气体变得清晰可见。
• 所有金属都是化学单质，炼制金属的矿石才是由金属原子和氧原子组成的化合物（现代化学称之为“金属氧化物”）。
• 这直接证明了热运动理论，根据这套理论，物体温度升高实际上是因为分子不规律热运动加剧。
• 物体温度升高实际上是因为分子不规律热运动加剧。
• 根据阿贝的理论，显微镜的运作原理可以拆成几步：1.将原始照片分解成大量独立的暗纹图像；2.分别放大每一幅独立图像；3.重新将所有图像叠加起来，得到放大后的照片。
• 原子和太阳系不仅结构相似，还有其他很多共同点：原子核的质量相当于原子总质量的99.97%，而太阳系99.87%的质量都集中在太阳里；围绕原子核运行的电子之间的距离相当于电子直径的几千倍，太阳系内行星间的距离与行星直径的比值差不多也是这个数。
• 是什么样的力将不同元素的原子结合在一起，形成各种各样的复杂化合物分子？
• 金属和其他材料很不一样，因为金属原子内部的外层电子与原子核的结合十分松散，所以常常会有一两个电子挣脱原子核的束缚，成为自由电子。这样一来，金属材料内就有大量漫无目的游荡的自由电子，就像一群无家可归的流浪汉。如果给金属丝通电，这些自由电子会顺着电压的方向狂奔，形成我们所说的电流。
• 古人的错误不在于他们断然宣布“某人在给定观察点看到的地球是平的”，而在于他们贸然将这一结论推广到了实地观察的范围以外。
• 尽管经典力学定律的确能解释巨型天体、炮弹、钟摆和玩具陀螺的运动，但电子的大小和质量只相当于最小的力学设备的亿万分之一。我们凭什么相信，同样的定律就一定适用于它呢？
• 量子力学基于科学家发现的一个事实：两个不同物体之间的任何相互作用存在一个确定的下限。这个发现彻底颠
• 光能均匀分布在光学系统占据的整个空间中。
• 续散布在整个空间中。对光来说，这种事物就是光在各个点的振动强度；而对于量子力学来说，这种事物是新引入的位置不确定的概念，在任意给定时刻，运动粒子可能出现的位置有好几个——而不是确定的一个——而且它出现在各个位置的概率不尽相同。我们无法再准确描述给定时刻运动粒子的确切位置，但可以根据“不确定性原理”算出它可能存在的范围。我们用光的波动

第七章 现代炼金术

• 不同种类的原子核由数量不等的基本氢原子核组成，氢原子核在物质结构中拥有如此特殊的地位，所以我们将之命名为“质子”。
• “宇宙射线簇射”现象就是这样一个“批量制造”电子对的有趣案例，来自星际空间的高能粒子流穿过地球大气，就会产生宇宙射线簇射。
• 原子核调整电荷的过程通常被称为“β衰变”。这个过程释放的电子叫作β粒子
• 我们必须假设这些粒子之间存在另一种力，而且它是一种能够同时作用于带电和不带电核子的引力。这种无视粒子本身特性的引力通常被称为“内聚力”（cohesive force），比如说，普通液体分子就是靠内聚力结合在一起的，所以它们才不会四下飞散。
• 液体之所以会产生表面张力，是因为液体内部的粒子同时受到各个方向邻居的拉力，而表面的粒子受到的只有指向液体内部的拉力（图63）。
• 除了银币[插图]以外的所有物体实际上都可能发生核爆炸，
• 重原子核会自发衰变，分裂成两个相差悬殊的部件。（1）其中一个部件非常非常小，人们称之为α粒子，其实它就是氦原子核；（2）失去α粒子的原子核残骸成了新形成的子元素原子核。
• 元素的原子量越大，它释放的中子引发核裂变的效率就越高，周期表尽头的那些元素裂变效率接近100%。
• 在自然界所有的天然原子核中，只有一种原子核有可能发生这样的反应，它就是著名的轻同位素铀，铀235，它是唯一一种天然的可裂变物质。
• 铀的重同位素之所以会阻碍链式反应，本质上是因为它会吸收铀235裂变产生的很大一部分中子，从而降低下一步链式反应发生的概率。
• 如果我们能在裂变产生的中子与第一个铀原子核（无论是238还是235）相遇之前大幅降低它的初始速度，那么就能显著提高它被铀235捕获的概率，虽然这种同位素比铀238少得多。
• 要达到这样的效果，我们可以将大量天然铀碎片分散放置在某种材料（慢化剂）内部。这种材料能够降低中子的速度，同时又不会捕获太多中子。重水、碳和铍盐都是理想的慢化剂
• 氢弹是人类成功制造的第一种核聚变装置，氢弹内氘的聚变反应由一颗裂变原子弹引发。
• 制造可控热核反应的主要困难在于如何束缚极热气体，要克服这个难题，我们可以利用强磁场将氘核约束在中央热区内，避免它接触容器壁，导致后者融化蒸发！

第八章 无序的规律

• 当温度达到−273℃（即−459℉）时，物质分子会完全停止热运动，所有分子归于静寂。显然，这就是宇宙中的温度下限，我们称之为“绝对零度”。如果有人说，还有更低的温度，那就太荒谬了，因为世上没有比绝对静止更慢的运动！
• 值得一提的是，我们可以通过测量水的沸点推算当地的大气压，继而确定海拔高度。
• 物质的熔点越高，它的沸点也越高。
• 但任何分子都无法在几千度的高温下存活，在这样的高温环境中，物质将变成纯化学元素组成的气态混合物。
• 就连原子也无法在这样的酷热环境中幸存，它的所有外层电子都会被剥夺，物质最终会变成赤裸的原子核与自由电子组成的混合物，电子在空间中高速运动，以极其强大的力量互相碰撞。
• 要利用热彻底分解物质，将原子核拆成独立的核子（质子和中子），我们至少需要几十亿度的高温
• 事实上，热运动完全无规律的特性正好能用一种新定律来描述，我们称之为无序定律，或者统计行为定律。
• 金属传热是靠电子的扩散过程实现的
• 概率论中还有一条“加法定理”：如果你只想要几样东西中的一样（哪样都行），那么你得到它的概率等于这几样东西单独出现的概率相加。
• 前一种“什么都想要”的情况下，想要的东西越多，你同时得到它们的概率就越低；而在后一种“什么都行”的情况下，单子上的备选项越多，你满足愿望的概率就越大。
• 它让我们看到，面对一些复杂事件的概率，我们的直觉可能完全靠不住。
• 所以概率定律特别适合用来描述数量近乎无限的原子和分子
• 所有依赖于分子不规律运动的物理过程必然朝着可能性更大的方向发展，直至最后达到可能性最大的平衡态。
• 物理系统中任何自发的过程必然朝着熵增的方向发展，直至最后达到熵最大的平衡态。
• 同样地，我们可以允许系统内的局部区域出现熵减，只要其余部分增加的熵足以补偿差额。换句话说，我们的确能让系统内部分区域的分子无序运动变得更有序，只要我们不在乎这样的操作会让其他区域的分子运动变得更无序。
• 阳光穿过大气的时候，空气中不均匀的分子团会散射蓝光，所以你才会看到蓝色的天空，太阳看起来也比实际颜色更红
• 除此以外，阳光还带来了所谓的“负熵”（熵减），植物的绿叶吸收了阳光，负熵也随之消失
• 植物利用来自阳光的负熵（秩序），以无机化合物为原料构建自己的身体；而动物只能吃掉植物（或者其他动物），靠这种方式来获得负熵，所以我们可以说，动物是负熵的间接使用者。

第九章 生命之谜

• 所以要解开生命之谜，我们要做的不仅仅是研究组织如何组成复杂生命体，还得进一步探查各种各样的原子如何形成组织，进而组成每一个活生生的生命。
• 这些生命体的基本结构单元通常被称为“细胞”，你也可以叫它“生物原子”（即“不可分割之物”），因为单个的细胞是保持特定组织特性的最小单位。
• 成年人的身体包含了几百万亿个细胞！
• 生命虽然复杂，但从本质上说，它和普通的物理现象和化学现象并无区别，所以我们很难在生命和非生命之间划出明确的界线。
• 动物细胞的“围墙”（细胞膜）薄且富有弹性；植物细胞的“围墙”（细胞壁）又厚又重，所以植物的身体总是比动物僵硬
• 成年人体内的每一个细胞都是最初那个受精卵的大约第50代子孙
• 它们分裂的次数比其他普通细胞少得多，所以直到生物准备繁殖后代的时候，这批储备的细胞依然十分新鲜、活力十足
• 这些“染色体数量不足”的细胞诞生的过程叫作“减数分裂”，与此相对，普通的分裂过程被称为“有丝分裂”。减数分裂产生的子细胞被称为“精细胞”和“卵细胞”，或者说雄性配子和雌性配子。
• 色盲这一类的遗传特征需要两条染色体都受到影响才会表现出明显的性状，因此我们称之为“隐性遗传特征”。
• 每个独立基因大约由100万个原子组成。
• 生物的遗传性状常常发生跳跃性的自发变化，我们称之为突变。这是遗传学研究领域最重要的成果之一。
• 生物的突变现象实际上源自分子内部的同分异构变化，这是一个纯粹的物理化学过程。
• 事实上，细菌自己就有原生质，但病毒微粒只有借助其他生物的活性原生质才能增殖，一般来说，这些小家伙非常“挑食”。
• 事实上，我们已经发现，在缺少食物的环境中，病毒微粒会自行排列成类似晶体的规律图样。比如说，所谓的“番茄丛矮病毒”会结晶形成漂亮的大块菱形十二面体！这种晶体完全可以和长石、岩盐一起摆进矿物学展示柜，但要是你把它放回番茄植株上，它又会变成一大群活生生的个体。

第十章 不断扩展的地平线

• 银河里的恒星看起来比其他地方多，并不是因为这里的恒星分布得更密集，而是因为这个方向的恒星延伸得更远，所以你才能在这片夜空中看到更多的星星。
• 这项研究揭示的另一个结果无异于在人类脸上狠狠扇了一巴掌——原来我们的太阳根本不是这个恒星社群的核心，它实际上位于银河系边缘。
• 组成银河系的亿万颗恒星也围绕着所谓的“银心”旋转。银心位于半人马座（射手座）方向，事实上，仔细观察天空中朦胧的银河，你会发现，离半人马座越近，银河的“河道”就越宽，这意味着你看到的是镜片状星系中央比较厚的区域
• 如果你发现了一颗距离超过视差位移法测量上限的造父变星，那么你只需要通过望远镜观察，记下它的脉动周期，进而算出它的实际亮度；再比较一下你观察到的亮度和它的实际亮度，你马上就能知道它离你有多远。
• 有一件事情非常重要：我们观察到的所有星系的形状可以排成一个循序渐进的序列（图115），它可能代表着巨型恒星社群不同的演化阶段。[插图]星系演化的不同阶段
• 我们的银河系属于一个相对较小的星系团。这个大家庭由三个旋涡星系（包括银河系和仙女座星云）、六个椭圆星系和四个不规则星系（包括大小麦哲伦云）组成。
• 空间可能是有限无界的。弯曲的空间可能形成自我封闭的结构，假设有一位太空探险家开着火箭飞船沿直线（测地线）一路往前飞，那他最后没准会回到原地。

第十一章 创世年代

• 按照这样的温度增长速率，我们只需要深入地底50千米，地球的温度必然达到岩石的熔点（1200-1800℃），而这个深度还不到地球半径的百分之一。再往下走，占据了地球97%以上质量的物质必然处于完全熔化的状态。
• 各行星的轨道半径约等于前一颗行星的2倍。
• 从本质上说，这个过程其实是高温环境中的氢在碳和氮的催化作用下转化为氦。
• 目前人们普遍相信的解释是，恒星实际上是灼热气体组成的大质量天体，它之所以能维持自身的形状，全靠内部灼热物质形成的高压。