普林斯顿微积分读本（修订版）

阿德里安·班纳

译者序

• 《普林斯顿微积分读本》 微笑着面对数学的世界 积累着超越无穷的力量 分化出化解疑难的翅膀 求解出优化问题的阳光 生成了数学天空的晴朗

前言

• 我的建议是，先看懂并理解问题的求解方法，然后再返回来尝试自己解答。
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• 把你自己总结的所有重要的知识点和公式都写出来，以便记忆。虽说数学不死记硬背，但也有一些关键的公式和方法，最好是你能自己写得出来。好记性不如烂笔头嘛！通常来说，做总结足以巩固和加强你对所学知识的理。这也是我没有在每一章的结尾部分做要点总结的主要原因。如果你自己做，那将会更有价值。

1.1 函数

• 函数是将一个对象转化为另一个对象的规则
• 假设你写出f（x）=x2，这就定义了一个函数f ，它会将任何数变为自己的平方。
• 顺便要说的是，f是一个变换规则，而f（x）是把这个变换规则应用于变量x后得到的结果。因此，说“f（x）是一个函数”是不正确的，应该说“f是一个函数”。
• 由于g和f有相同的规则，但g的定义域小于f的定义域，因而我们说g是由限制f的定义域产生的。
• 一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出。
• 值域实际上是上域的一个子集。上域是可能输出的集合，而值域则是实际输出的集合。
• 像[a，b]这种形式表示的区间我们称作闭区间。
• 像（a，b）这种形式表示的区间称作开区间。
• 你也可以混和匹配：[a，b）指的是介于a和b之间、包括a但不包括b的所有实数的集合；（a，b]包括b，但不包括a。这些区间在一个端点处是闭的，而在另一个端点处是开的。有时候，像这样的区间称作半开区间
• 通常的惯例是，定义域包括实数集尽可能多的部分
• （1）分数的分母不能是零。（2）不能取一个负数的平方根（或四次根，六次根，等等）。（3）不能取一个负数或零的对数。
• 这个集合可以写作（-8，13] \ {2}，这里的反斜杠表示“不包括”。
• 记住，我们看到的任何函数的上域总是所有实数的集合。
• 基本思想是，画出函数图像，然后想象从图像的左边和右边很远的地方朝向y轴水平地射入两束亮光。曲线会在y轴上有两个影子，一个在y轴的左侧，另一个在y轴的右侧。值域就是影子的并集
• 什么是函数f的图像呢？它是所有坐标为（x，f（x））的点的集合，其中x在f的定义域中。
• 垂线检验：如果你有某个图像并想知道它是否是函数的图像，你就看看是否任何的垂线和图像相交多于一次。如果是这样的话，那它就不是函数的图像；反之，如果没有一条垂线和图像相交多于一次，那么你的确面对的是函数的图像。
• 整个圆的方程是x2+y2=9，而上半圆的方程是[插图]，下半圆的方程是[插图]。

1.2 反函数

• 如果你选一个实数y，那么应该赋予f什么样的输入才能得到这个输出y呢？
• 给定一个实数y，那么在f定义域中的哪个x满足f（x）=y？
• 从输出y出发，这个新的函数发现一个且仅有一个输入x满足f（x）=y。这个新的函数称为f的反函数，并写作f-1。
• 如果是那样，获得反函数唯一的方法就是对定义域加以限制
• 水平线检验：如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次，那么这个函数就有一个反函数。即使只有一条水平线和图像相交多于一次，这个函数也是没有反函数的。例如，我们来看
• 基本思想是，在图像上画一条y=x的直线，然后将这条直线假想为一个双面的镜子。反函数就是原始函数的镜面反射。
• 水平线被镜子y=x反射后会变成垂线。
• 如果f有反函数，那么对于在f定义域中的所有x，f-1（f（x））=x成立；同样，对于在f值域当中的所有y，都有f（f-1（y））=y。
• f-1（f（x））可能不等于x ；事实上，f-1（f（x））=x仅当x在限制的定义域中才成立。

1.3 函数的复合

• 这个过程恰恰模拟了f ，故我们可以写出f（x）=h（g（x）），也可表示为f=hog，这里的圈表示“与……的复合”，即f是g与h的复合。
• 函数的乘积和复合是不同的，且函数的复合与函数顺序有关系，而函数的乘积与函数顺序无关。

1.4 奇函数和偶函数

• 如果对f定义域里的所有x有f（-x）=f（x），则f是偶函数。这个等式对某些x值成立是不够的，它必须对定义域里的所有x都成立。
• 当对f定义域内所有x都有f（-x）=-f（x）时，f是奇函数。
• 只有一个函数是既奇又偶的，它就是非常单调的对所有x都成立的f（x）=0（我们称之为零函数）
• 如果一个函数是奇的，并且0在其定义域内，则f（0）=0.
• 偶函数的图像关于y轴
• 奇函数的图像关于原点有180°的点对称性。
• 两个奇函数之积是偶函数
• 两偶函数之积仍为偶函数，奇函数和偶函数之积是奇函数。

1.5 线性函数的图像

• 形如f（x）=mx+b的函数叫作线性函数。
• 直线方程的点斜式

1.6 常见函数及其图像

• 基本项xn的倍数叫作xn的系数。
• 多项式的图像左右两端的走势倒是容易判断。这是由最高次数的项的系数决定的，该系数叫作首项系数
• 实际上，我们只需考虑首项系数正负以及多项式次数的奇偶就能判断图像两端的走势
• Δ=b2-4ac
• 二次函数的一个重要技术是配方
• 有理函数 形如，其中p和q为多项式的函数，叫作有理函数。
• 由于y=2x的图像满足水平线检验，所以该函数有反函数。这个反函数就是以2为底的对数函数y=log2（x）

2.1 基本知识

• 圆的一个扇形的弧长就是这个扇形的圆心角的弧度
• 用弧度度量的角用度度量的角
• 熟记常用角0，π/6，π/4，π/3，π/2的三角函数值。

2.3 三角函数的图像

• 因此，对于所有的实数x，我们有sin（-x）=-sin（x），tan（-x）=-tan（x），cos（-x）=cos（x）。

2.4 三角恒等式

• 这是“互余”（complementary）
• 三角函数（x）=co-三角函数[插图]

3.1 极限：基本思想

• 需要理解的是：当x非常非常接近于a，但不等于a时，f（x）是什么样子的？
• 变量x只是一个虚拟变量。它是一个暂时的标记，用来表示某个（在上述情况下）非常接近于2的量。

3.2 左极限与右极限

• 通常的双侧极限在x=a处存在，仅当左极限和右极限在x=a处都存在且相等

3.3 何时不存在极限

• 垂直渐近线”的正式定义：
• 当x从右侧趋于x =0时，该函数不趋于任何数。因此可以说，[插图]不存在（DNE）

3.4 在∞和-∞处的极限

• 如果一个数非常接近于0（但不是真的等于0），则这个数是小的。

3.5 关于渐近线的两个常见误解

• 一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线，但最多只能有两条水平渐近线（一条在右侧，另一条在左侧）
• 另外一个常见误解是，一个函数不可能和它的渐近线相交

3.6 三明治定理

• 三明治定理（又称作夹逼定理）说的是，如果一个函数f被夹在函数g和h之间，当x→a时，这两个函数g和h都收敛于同一个极限L，那么当x→a时，f也收敛于极限L。

4.1 x→a时的有理函数的极限

• 两个多项式之比p（x）/q（x）被称作有理函数
• 0/0.这被称作不定式
• f和g不是同一个函数：数2不在f的定义域中，但它却在g的定义域中。
• 分母为0但分子不为0又会怎么样呢？在那种情况下，将总会牵扯到一条垂直渐近线，即有理函数的图像在你感兴趣的x值上会有一条垂直渐近线

4.2 x→a时的平方根的极限

• 平方根加上或减去另外一个量，可以试着把分子分母同时乘以其共轭表达式，也许会有令人

4.3 x→∞时的有理函数的极限

• 其中p和q为多项式，我们可以说：（1）如果p的次数等于q的次数，则极限是有限的且非零；（2）如果p的次数大于q的次数，则极限是∞或-∞；（3）如果p的次数小于q的次数，则极限是0。

5.1 连续性

• （1）双侧极限[插图]存在（并且是有限的）；（2）函数在点x=a处有定义，即f（a）存在（并且是有限的）；（3）以上两个量相等，即[插图]
• 如果函数在区间（a，b）上的每一点都连续，那么它在该区间上连续。
• （1）函数f在（a，b）中的每一点都连续；（2）函数f在点x=a处右连续；即，[插图]存在（且有限），f（a）存在，并且这两个量相等；以及（3）函数f在点x=b处左连续；即，[插图]存在（且有限），f（b）存在，并且这两个量相等。
• 为了确保可以使用最大值与最小值定理，连续性区间必须是闭的。

5.2 可导性

• 发展微积分的最初灵感之一来自试图去理解运动物体的速度、距离和时间的关系。
• 通过（x，f（x））的切线的斜率是x的一个函数。这个函数被称为f的导数，并写作f'。
• 量[插图]实际上根本不是一个分数，它是当Δx→0时分数[插图]的极限。
• 每一个可导函数也是连续的
• 可导函数必连续。不过要记住，连续函数并不总是可导的！

6.2 用更好的办法求导

• 回想一下，诸如dy/du和du/dx这样的表达式其实不是分数，它们是分数的极限（

6.6 分段函数的导数

• 检验一个分段函数在分段连接点上是否可导，需要检验分段在连接点上极限相等（以证明连续性）以及分段的导数在连接点上相等。否则，在连接点上不可导